Aspects techniques relatifs aux propulseurs à poudre
Un propulseur à poudre performant n'est pas facil à réaliser sans quelle connaissance de base. Calculer la pousser fournit par le propulseur d'une fusée peut étre particuliérement utile pour determiner ses performances. Ce chapitre est donc en complément avec celui traitant du calcul des performances d'une fusée.
Sommaire
Les forces en présence
Le moteur de la fusée
.......Tuillére
.......Débit variable
Performance des fusées
Les Performances en prenant en compte la traînée
I) Le moteur de la fusée : débit, vitesse d'éjection
Imaginons une personne sur une plate-forme pouvant rouler sans frottement sur des railles . Si cette personne lance une pierre (action) parallèlement au raille la plate-forme se déplace dans le sens opposée à la direction du lancement (réaction) : l'action du lancé de la pierre engendre une réaction égale dans la direction opposée ; plus la vitesse V de la pierre est grande ou plus sa masse est importante, plus la force fournie et la réaction seront grande. On peu expliquer cela différament : quand on lance la pierre une pression s'applique contre la main il faut qu'il y est une réaction opposée La pression qui s'applique sur les parois du propulseur est contre balancée par une pression qui s'applique sur la paroi opposée.
Si les pierres sont lancée de façon continue la force résultante sera en fonction du nombre de pierre éjectée par seconde c'est à dire du débit D. On conçoit donc aisément que la force fournie est en fonction du produit V.D. Pour une fusée le principe est identique, on fait brûler deux corps qui fournissent par seconde une masse de gaze D (en kg/s) sortant à une vitesse Ve (vitesse d'éjection en m/s) :
F = D.Ve
Cette poussée doit être supérieure au poids pour permettre à la fusée de s'élever. Le calcul de l'accélération de la fusée est donné par la loi fondamentale de la dynamique ou seconde loi de Newton :
Fr = a.m
a est l'accélération, m est la masse de la fusée, Fr la résultante des forces qui lui sont appliquées soit la résultante du poid, de la trainée et de la poussée.
En outre cette formule nous incite à augmenter la vitesse d'éjection puisqu'elle lui est directement proportionnelle : une augmentation de 50% de Ve augmentera F de 50% aussi pour une même masse de gaze éjecté. La recherche de moyen qui permette d'atteindre ce résultat exige une étude approfondit du moteur de la fusée. Mais à l'extrémité de la chambre de combustion, elle reste faible (quelque dizaine de centimètres ou mètre par seconde). En effet elle correspond à la vitesse de propagation de la réaction chimique dans un volume assez important.
La tuyére.
Comparons la chambre à un gros tuyau, si on rétrécit
progressivement ce tuyau on remarque que la vitesse des gaze
augmente jusqu'à une certaine valeur qui correspond à la
vitesse du son à la température des gaz. La vitesse du son
croit avec la température celons la formule : a=19\/¯T (a en m/s
et T en degré Kelvin). Arrivé à cette valeur si on continu de rétrécir
on ne peut que perdre de la vitesse ; au contraire si a cet
instant on l'élargit de nouveau, on dépasse la vitesse du son
et la vitesse des gaz continu à croître. On a réaliser ainsi
une tuyère de Laval formé d'un convergent et d'un divergent
elle permet en fait une meilleure conversion des forces en énergie
cinétique.
Au col de la tuyère, on calcule, à partir des conditions qui règne
dans la chambre, la vitesse la pression et la température des
gaz : La vitesse est sonique la pression est égale à 50% de la
pression chambre, la température à 80%de la température
chambre. De ces donnés on déduit la densité des gaz, puis on détermine
la section a donner au col en fonction du débit que l'on cherche
à obtenir.En
désignant par D (Débit) le poids de gaz qui passe en une seconde dans
une section normale quelconque S et par mo son poids spécifique et par V sa vitesse, on a :
D = S . V. mo
Le poids est évidemment le même pour toutes les sections d’un bout à l’autre de la tuyère. Or, au fur et à mesure que les gaz progresse dans la tuyère, ils se détendent et leur vitesse V augmente en suivant une courbe. Mais suite à l’augmentation du volume (due à la détente), le poids spécifique diminue plus lentement que l’augmentation de vitesse, de sorte que le produit V . mo augmente. Or, comme le débit D reste constant, la section S doit diminuer. C’est pourquoi, à l’entrée des gaz dans la tuyère, la section de celle-ci diminue, on dit que la tuyère converge. Quand cette partie convergente atteint une section limite, ce point porte le nom de "col de la tuyère". On peut aussi mesurer le débit expérimentalement, en mesurant la masse éjecter en moyenne par seconde. Pour cela on mesurera le temps de combustion, puis pour obtenir la masse éjecter durant cette combustion, il faudra soustraire la masse de poudre inséré dans le propulseur et de celle qui est resté après la combustion (si votre combustion n'est pas parfaite).
Ceci permet de dimensionner le convergent de la tuyère. Mais il reste à étudier les conditions imposer au divergent pour assurer l'expansion des gaz jusqu'à leur éjection. Pendant que la vitesse s'accroît le long de la tuyère, la pression diminue et atteint une valeur Pe à la section S de sortie. Si Pa est la pression ambiante à l'altitude ou se trouve la fusée, on montre que la force propulsive dépends de cette différence qui s'exerce sur la surface S ; elle s'écrit :
F=D.Ve-S(Pe-Pa)
Pa pression ambiant ; Pe pression en sortie de tuyère ; Pa surface de la section de sorti en m²
Notez que les calculs si dessus ne fonctionne pas si le produit éjecter est incompressible comme l'eau.
Pour que F soit maximum il faut donc que la pression Pe en
sortie de tuyère soit égale à la pression ambiante Pa. On dit
alors que la tuyère est adaptée (sous entendu au milieu ambiant)
; la force propulsive ne dépends plus que du débit et de la
vitesse d'éjection on retrouve la formule précédente, cependant ce cas de figure est impossible dans la réalité.
Dans ces conditions d'adaptation, Ve est donc en fonction de la
température T de la chambre de combustion et de la masse moléculaire
M des gaz éjectés. Sa valeur moyenne peut s'écrire sous la
forme simplifiée :
| Ve en m/s T en degré Kelvin M en kg |
 |
Cette formule met en évidence l'intérés d'une température
élevée dans la chambre de combustion et d'une faible masse moléculaire.
La caractéristique fondamentale du moteur des fusées apparaît
être la valeur de la vitesse d'éjection des gaz et pour cette
raison on définit l'impulsion spécifique Isp du propergol.
Cette impulsion ou la force, fournie à la fusée par la
consommation en une seconde d'un kilogramme de propergol :
| g =9.81m/s² (sur terre en france) Isp impulsion spécifique en s |
 |
Débit variable
Pour améliorer la poussée du propulseur, on peut augmenter le débit, on a vue dans le chapitre construction du propulseur que l'on pouvait faire pour cela des propulseurs à combustion interne c'est à dire des propulseur dont l'allumage est fait au centre. Cependant dans ce cas le débit n'est pas le même pendant toute la combustion. On va donc calculer notre poussée pour chaque instant t de la combustion (c'est la méthode itérative de la dernière partie).
| V : volume de poudre brûlé par
unité de temps t h : hauteur du bloc de poudre r : le rayon interne de départ v : la vitesse de combustion cf. ci dessus |
V =  h
vt(vt+2r) |
II) Performance des fusées
Les performances d'une fusée dépendent non seulement de l'impulsion spécifique mais aussi du rapport Mi/Mf de la masse en début et en fin de combustion ; Mi étant la masse initiale et Mf la masse finale. On appelle ce rapport indice de structure d'un propulseur.
L'influence des deux facteurs essentiels des fusées se concrétise
lorsqu'on étudie l'accroissement de vitesse apporté par la
combustion du propulseur.
On sait que la pousser est proportionnelle à la vitesse d'éjection
des gaz Ve et à leur débit D. or le débit est par définition
la masse de gaz éjecté en une seconde, il correspond donc à la
variation de masse de la fusée dM/dt. Comme la force propulsive
est aussi égale à la force d'inertie, produit de la masse M et
de l'accélération, on déduit simplement. En appelant V la différence
entre la vitesse initiale et finale on trouve par intégration :
ou V=2.3 Ve Log10 Mi/Mf avec les logarithmes décimaux
Durant la phase de propulsion verticale, si on excepte la traînée,
l'équilibre des forces s'écrit sous la forme :
Poussée - Poids = force d'inertie soit : D.Ve- M.g = M.a
L'accroissement de la vitesse est donnée par la formule :
| M=Mi-Dt t temps de combustion en s g = 9.81m.s-2 v en m/s |
v=(2.3 Ve Log10 Mi/M)- gt |
Il ne faut pas tenir compte uniquement de la vitesse puisque c'est l'altitude atteinte par la fusée qui est le critère essentiel. L'altitude de culmination correspond au point ou la fusée commence à redescendre.
| Fin de combustion : | altitude |  |
|
| vitesse |  |
||
| Altitude de culmination | V1=0 |  |
Ce sont les logarithmes décimaux ; toutes les masses sont en kg (se ne sont pas des poids) ; t en s. Enfin ces formules ne faisant pas intervenir la traînée vous donneront des donnés bien plus grande que la normale...
De la dernière formule on tire une conséquence importante : pour une vitesse d'éjection donnée plus le débit est grand plus l'altitude de culmination est importante ; l'idéale serait une combustion instantanée.
Dans ces formules on admet une propulsion verticale ce qui est rarement le cas mais pour prévoir la trajectoire réelle de la fusée il faut des indications sur la vitesse du vent, on ne prend pas en compte non plus la traînée. Ces problèmes sont décries dans le chapitre aérodynamique des fusées et loi d'assiette.