Calcul des performances d'une fusée.
Calculer les performances des fusées à eau ou à poudre est primordiale pour regler les appareille ambarqué tel que le parachute. Je vous présente donc ici une methode simple et efficace permettant de prévoir les différents paramétre de vol.
Notez que vous pouvez calculer la poussée de vos fusée en lisant cette page pour les fusées à poudre ou celle-ci pour les fusées à eau.
I) Les forces en présences
1) La gravité
La fusée est soumise à son poid , à la résistance de l'aire et à la poussée de son moteur (la poussée d'Archiméde étant ici négligée). La fusée est continuellement attirée par la terre : deux corps m et M s'attire proportionnellement à leur masse et en raison de l'inverse du carré de leur distance. La force d'attraction F s'écrit :
G est une constante dite constante d'attraction universelle, elle est égale à 6.67* 10-11 unités MKSA (unité fondamentale Mètre Kilogramme Seconde Ampère). M et m sont les masse (en kg) des deux corps considérés. d (en m)est la distance séparant leur centre.
Cette force varie puisque la masse de la fusée diminue avec la combustion du propergol :
Mo=Mi-D*t
Mo : masse t seconde après le décollage en kg ; Mi : masse initiale en kg ; D : débit en kg/s
Si la fusée s'incline d'un angle λ on décomposera le poid en 2 composantes l'une perpendiculaire (F.sin λ) à l'axe de la fusée et l'autre parallèle (F.cos λ), λ étant l'angle par rapport à la verticale.
2) La trainée
La résistance de l'aire se traduit par la traîné qui est proportionnel à la densité de l'air et au carré de la vitesse.
T=½.p.Cx.S.V²
T : la traîné
Cx : Coefficient aérodynamique du mobile
p : Masse volumique de l'air,
S : surface s'opposant à l'aire
V : vitesse de l'engin
Pour réduire la traînée on peut diminuer la vitesse mais dans notre cas plus celle ci est grande plus la fusée ira haut. Il faut donc soigner l'apparence géométrique de l'engin. Le tableau ci dessous représente la variation de la traîné en fonction de la vitesse et de l'altitude.
| Altitude | Accélération de la pesanteur | Masse volumique de l'aire | Rapport des pressions | Température en °K |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 9.8066 | 1.22 | 1 | 288 |
| 1000 | 9.8036 | 1.11 | 0.887 | 281 |
| 2000 | 9.8005 | 1.00 | 0.784 | 275 |
| 3000 | 9.7974 | 0.90 | 0.738 | 268 |
| 4000 | 9.7943 | 0.82 | 0.608 | 262 |
| 5000 | 9.7912 | 0.73 | 0.533 | 255 |
3) La poussée du propulseur
Imaginons une personne sur une plate-forme pouvant rouler sans frottement sur les railles. Si cette personne lance une pierre de 1kg (action) parallèlement au raille la plate-forme se déplace dans le sens opposée à la direction du lancement : l'action du lancé de la pierre engendre une réaction égale dans la direction opposée ; plus la vitesse V de la pierre est grande, plus la force fournie et la réaction sont importante. On peu expliquer cela différament : quand on lance la pierre une pression s'applique contre la main il faut qu'il y est une réaction opposée La pression qui s'applique sur les parois du propulseur est contrebalancer par une pression qui s'applique sur la paroi opposée.
Plus générallement, ceci repose sur la loi de concervation des quatité en mouvement ou loi d'action et de réaction. La quatité de mouvement étant le produit de m par v (respectivement la masse et la vitesse de cette masse), la quatité en mouvement d'un systéme est la somme des quantité de mouvement des éllément composant ce systéme. On a ainsi :
m1.v1+m2.v2 = 0
De cette formule, on peut déduire la valeur de la poussée qui est fonction du débit D (kg.s-1) et de la Vitesse d'ejection Ve (m.s-2).
F=D.Ve
II) Phase de poussée
Le systéme étudié ici est notre fusée qui évolue dans le référencielle terrestre que l'on supposera galliléen. Lorsque le moteur de la fusée fonctionne, on a :
Resultante = Poid + Poussée + Trainée (+ Poussée d'Archiméde)
D'aprés la deuxiéme loie de Newton, avec a l'acceleration de la fusée, R la valeur de la resultante des forces et m la masse de la fusée on obtient :
R = a.m
Soit θ l'angle que fait la fusée avec l'horizontal (ou assiéte), par projection, on obtien av l'accelaration verticale et ah l'acceleration horizontale.
m.av = - m.g + sin(θ).(F - kv²)
m.ah = cos(θ).(F - kv²)
k est le coefficient aerodynamique de la fusée k = ½.p.Cx.S ; F est la poussée totale et v la vitesse totale.
Nous avant ainsi l'acceleration de notre fusée pour une vitesse et une poussée données, nous connaissons donc toutes les données initiales.
Verticallement : 
Horrizontallement : 
L'acceleration totale est donnée facillement par la formule :
Attention : Le poid de la fusée varie en fonction du débit au cours du temps donc on calculera la masse de la fusée à chaque instant : Mi = Mi-1 - D*Δt ; M est ici la masse de la fusée, D le débit moyen pendant l'intervalle de temps Δt. Ou de maniére plus précise si D(t) est la fonction donnant le débit en fonction du temps :
Ainsi on peut calculer les vitesses horizontale et verticale en fonction de l'acceleration et des vitesses précédament calculées via une petite approximation qui pourra étre réduite en prenant un interval Δt trés court.
Vv (i) = Vv (i-1) + Δt.av
Vh (i) = Vh (i-1) + Δt.ah
On a ensuite la vitesse totale de la méme maniére que l'accélération : v = RACINE( vv2 + vh2 )
Enfin on obtient les distances horizontale et verticale ( z = dv/dt )
Zi = Vv (i-1).Δt + ½.av.Δt2 + Zi-1
Xi = Vh (i-1).Δt + ½.ah.Δt2 + Xi-1
Enfin on cacul la nouvelle assiéte de la fusée :
sin(θ) = Vv (i) / Vi
cos(θ) = Vh (i) / Vi
tan(θ) = Vv (i) / Vh (i)
Un calcul précis ce fera avec un pas trés faible. N'oubliez pas que la poussée de la fusée varie au cours du temps.
Il est cependant interressant de noter que lorque la fusée est sur la rampe, son asssiéte reste constante et la composante normal du poid de la fusée est annulé par la réaction de la rampe. La valeur de cette réaction peut étre calculer sous la forme :
R = P.cosθ = mg.cosθ
Soit :
La fusée quitte la rampe de longueur L quand l'altitude à atteind la valeur zc = L.sinθ
III) La phase balistique.
Pendant la phase ballistique, on effectue les calculs ci dessus avec une poussée F égale à 0 jusqu'a ce que la vitesse verticale soit nul. Quand la vitesse verticale est nulle, la fusée commence à redescendre et la trainé à une direction opposée sur l'axe verticale. On prend alors une valeur de k tel que k2 = - k1 pour les calculs sur l'axe vertical mais on garde la méme valeur de k sur l'axe horizontal. Attention cependant, si vous prenez des angles negatif dans vos calculs pour la phase de descente, il ne faut pas remplacer k ! Les calcules s'arréte quand l'altitude à atteind la valeur initiale.
Vous pouvez telecharger le fichier excel illustrant ce chapitre :
